Matematyczny Kalendarz Adwentowy

Zadanie z dnia 2019-12-05

Liczby nieujemne \(a\), \(b\), \(c\) spełniają równości: \(a+b+c=2\) i \(a^2+b^2+c^2=3\). Wyznacz najmniejszą możliwą wartość wyrażenia \(a^3+b^3+c^3\).

Odpowiedź

Czas przesyłania rozwiązań do tego zadania już minął. Mimo to nie chcemy psuć Ci zabawy, dlatego ukrywamy prawidłową odpowiedź. Jeśli chcesz ją zobaczyć, najedź kursorem na poniższe pole.

5,000

Wyjaśnienie do odpowiedzi

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

Zachodzą następujące równości: \begin{align*} 8 & = (a+b+c)^3 \\ & = a^3+b^3+c^3 + 3a^2b+3ab^2+3b^2c+3bc^2+3c^2a+3ac^2 + 6abc \\ & = -2(a^3+b^3+c^3) + 3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) + 6abc \\ & = -2(a^3+b^3+c^3) + 3\cdot2\cdot3 + 6abc \\ & \ge -2(a^3+b^3+c^3) + 18, \end{align*} ostatnia nierówność wynika z tego, że \(abc\ge0\). Stąd mamy \(a^3+b^3+c^3\ge5\).

Należy jeszcze uzasadnić, że wartość \(5\) jest osiągalna. Biorąc \(a=1+1/\sqrt2\), \(b=1-1/\sqrt2\) i \(c=0\), otrzymamy \(a+b+c=2\), \(a^2+b^2+c^2=3\) i \(a^3+b^3+c^3=5\).

Ranking

Poniżej przedstawiamy ranking osób, które przesłały rozwiązanie tego zadania.

# Imię, nazwisko i szkoła Data przesłania odpowiedzi
1 NIKOLA WITKOWSKA ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH IM. ZIEMI GOSTYŃSKIEJ W GOSTYNIU 2019-12-05 18:01:53
2 ALAN GRĄDECKI ZSP 1 IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH W JAROCINIE 2019-12-05 18:02:26
3 ANTONI SOLARSKI VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-05 18:02:48
4 ANNA PACHOLAK I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KAROLA MARCINKOWSKIEGO W POZNANIU 2019-12-05 18:04:36
5 BŁAŻEJ JAROSZ I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MARII SKŁODOWSKIEJ-CURIE W OSTRZESZOWIE 2019-12-05 18:06:07
6 BARTŁOMIEJ PUCHAŁA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MARII SKŁODOWSKIEJ-CURIE W OSTRZESZOWIE 2019-12-05 18:06:10
7 MATEUSZ ĆWIEK III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-05 18:06:59
8 MICHAŁ TRZĘSOWSKI III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IMIENIA MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-05 18:08:54
9 KLAUDIA BIBROWSKA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W LESZNIE Z ODDZIAŁAMI DWUJĘZYCZNYMI I MIĘDZYNARODOWYMI 2019-12-05 18:09:26
10 MACIEJ NOWAKOWSKI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GEN. J. WYBICKIEGO W ŚREMIE 2019-12-05 18:09:46
11 DOMINIK NITSCHKE ZESPÓŁ SZKÓŁ NR. 1 IM. STANISŁAWA STASZICA W NOWYM TOMYŚLU 2019-12-05 18:12:02
12 MACIEJ KARCZEWSKI I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W PLESZEWIE 2019-12-05 18:12:07
13 ZOFIA WITKOWSKA 1 LO IM. MARII SKŁODOWSKIEJ-CURIE W OSTRZESZOWIE 2019-12-05 18:12:40
14 DAGMARA SIKORA ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH 2019-12-05 18:13:33
15 AGATA RATAJEWSKA ZESPÓŁ SZKÓŁ ZAWODOWYCH W RAWICZU 2019-12-05 18:13:51
16 NATALIA KUBIAK 9 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KAROLA LIBELTA W POZNANIU 2019-12-05 18:14:42
17 PATRYCJA OBUCHOWSKA 9 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KAROLA LIBELTA W POZNANIU 2019-12-05 18:15:12
18 ANNA KAŁEK ZESPÓŁ SZKÓŁ NR 1 W NOWYM TOMYŚLU 2019-12-05 18:19:52
19 ZOFIA KOCOT I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM MARII SKŁODOWSKIEJ-CURIE W OSTRZESZOWIE 2019-12-05 18:19:54
20 ADAM STĘPIEŃ III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-05 18:21:24
21 MARIA JOKIEL ZESPÓŁ SZKÓŁ ROLNICZYCH I TECHNICZNYCH IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POWODOWIE 2019-12-05 18:22:11
22 JULIA MICHALEWICZ ZESPÓŁ SZKÓŁ ROLNICZYCH I TECHNICZNYCH IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POWODOWIE 2019-12-05 18:22:20
23 WOJCIECH DWORCZYŃSKI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W ŚREMIE 2019-12-05 18:22:38
24 ANGELIKA FABIŚ ZESPÓŁ SZKÓŁ ROLNICZYCH I TECHNICZNYCH IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POWODOWIE 2019-12-05 18:22:46
25 MICHAŁ CIESIÓŁKA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANKA Z CZARNKOWA W CZARNKOWIE 2019-12-05 18:23:09
26 FIONA HARTMAN ZESPÓŁ SZKÓŁ PRZYRODNICZO-BIZNESOWYCH W TARCACH 2019-12-05 18:25:28
27 KRZYSZTOF ANTONIEWICZ ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADPODSTAWOWYCH IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH NR 1 W JAROCINIE 2019-12-05 18:26:10
28 JAN NOWAKOWSKI VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-05 18:27:11
29 JAGODA ANDRZEJEWSKA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MARII SKŁODOWSKIEJ- CURIE W OSTRZESZOWIE 2019-12-05 18:27:26
30 MICHALINA WABIŃSKA ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADPODSTAWOWYCH IM.DEZYDEREGO CHŁAPOWSKIEGO W WITKOWIE 2019-12-05 18:27:46
31 ANTONI GRZEBISZ ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH IM. ZIEMI GOSTYŃSKIEJ W GOSTYNIU 2019-12-05 18:33:12
32 ANTONI RAJTAR VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-05 18:33:38
33 CEZARY SZWEDEK ZESPÓŁ SZKÓŁ IM. EMILII SCZANIECKIEJ W PNIEWACH 2019-12-05 18:36:10
34 ZUZANNA SZYMANOWSKA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ŚW. BARBARY W CHODZIEŻY 2019-12-05 18:37:38
35 JULIA TALAR II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. DĄBRÓWKI W GNIEŹNIE 2019-12-05 18:38:21
36 MARCIN STAWICKI ZESPÓŁ SZKÓŁ KOMUNIKACJI W POZNANIU 2019-12-05 18:39:37
37 WERONIKA JANOWICZ 1 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. BOLESŁAWA CHROBREGO W GNIEŹNIE 2019-12-05 18:39:38
38 JAKUB STACHOWSKI VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-05 18:41:12
39 KLAUDIA TARABASZ VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-05 18:45:04
40 KAROL DWORCZYŃSKI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GEN. JÓZEFA WYBICKIEGO W ŚREMIE 2019-12-05 18:45:21
41 ALICJA BANAŚ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANKA Z CZARNKOWA 2019-12-05 18:48:01
42 MARTA MIERZYŃSKA IX LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KAROLA LIBELTA W POZNANIU 2019-12-05 18:48:25
43 JOANNA HERMANN II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GENERAŁOWEJ ZAMOYSKIEJ I HELENY MODRZEJEWSKIEJ W POZNANIU 2019-12-05 18:48:55
44 WERONIKA WYBORNA 3 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IMIENIA MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-05 18:49:03
45 MAREK WIĄCEK ZESPÓŁ SZKÓŁ PRZYRODNICZO-USŁUGOWYCH IM. STANISŁAWA MIKOŁAJCZYKA W GNIEŹNIE 2019-12-05 18:50:16
46 PIOTR KRZYSZOWSKI I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. STANISŁAW STASZICA W PLESZEWIE 2019-12-05 18:51:55
47 BARTOSZ NOWAK LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JULIUSZA SŁOWACKIEGO W GRODZISKU WIELKOPOLSKIM 2019-12-05 18:54:16
48 KACPER URBANIAK ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADPODSTAWOWYCH NR 1 W JAROCINIE 2019-12-05 18:56:49
49 ANNA SŁOMIANNA ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH IM. ZIEMI GOSTYŃSKIEJ W GOSTYNIU 2019-12-05 18:57:42
50 TOMASZ LIBERA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W CZARNKOWIE 2019-12-05 19:01:45
51 KATARZYNA CHOJNIAK PUBLICZNE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE ZAKONU PIJARÓW IM. ŚW. JÓZEFA KALASANCJUSZA W POZNANIU 2019-12-05 19:04:20
52 IGOR SZYMCZAK 38 DWUJĘZYCZNE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE 2019-12-05 19:05:49
53 RADOSŁAW WINIECKI I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH W WĄGROWCU 2019-12-05 19:10:17
54 KACPER KOZERSKI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KAZIMIERZA WIELKIEGO W KOLE 2019-12-05 19:13:34
55 MICHAŁ PIECHOTA III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-05 19:15:32
56 BARBARA PIELECHA XVII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE 2019-12-05 19:18:22
57 JULIANNA PRZYBYŁ 3 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-05 19:18:50
58 KAROL SUTERSKI IV LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W POZNANIU 2019-12-05 19:21:17
59 MICHAŁ REDMER VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-05 19:24:25
60 TYMON TOMCZAK 8 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-05 19:28:28
61 WIKTORIA WOJTKOWIAK ZESPÓŁ SZKÓŁ KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-05 19:33:27
62 KLAUDIA JANICKA 1 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MARII SKŁODOWSKIEJ-CURIE W OSTRZESZOWIE 2019-12-05 19:36:31
63 PAULINA WOLNIEWICZ ZESPÓŁ SZKÓŁ EKONOMICZNYCH IM. MAKSYMILIANA JACKOWSKIEGO W SŁUPCY 2019-12-05 19:42:47
64 KORNELIUSZ KRAWCZYK ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADPODSTAWOWYCH NR 1 W KĘPNIE 2019-12-05 19:43:11
65 MIKOŁAJ SCHINDLER I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. STANISŁAWA STASZICA W PLESZEWIE 2019-12-05 19:43:43
66 ZOFIA GOŁASKA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE ŚW MARII MAGDALENY W POZNANIU 2019-12-05 19:47:20
67 ADAM GARCZYK NIEPUBLICZNE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W ŚRODZIE WIELKOPOLSKIEJ 2019-12-05 19:48:26
68 ADAM NOWACKI ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH I TECHNICZNYCH W KŁODAWIE 2019-12-05 19:52:35
69 BOGUSŁAW WENDT 1 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IMIENIA ŚWIĘTEJ BARBARY W CHODZIEŻY 2019-12-05 19:56:06
70 MIKOŁAJ RYBAK I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MARII SKŁODOWSKIEJ-CURIE W OSTRZESZOWIE 2019-12-05 20:03:14
71 JAKUB CZAJKOWSKI III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-05 20:04:40
72 BARTOSZ MARCZAK I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCZĄCE IM. M. SKŁODOWSKIEJ- CURIE W OSTRZESZOWIE 2019-12-05 20:09:30
73 ADAM AUGUSTOWSKI ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH I TECHNICZNYCH W KŁODAWIE 2019-12-05 20:13:14
74 KONRAD KACZMAREK ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH I TECHNICZNYCH W KŁODAWIE 2019-12-05 20:14:56
75 MATEUSZ DOKOWICZ 3LO POZNAŃ 2019-12-05 20:16:29
76 KUBA CIBORSKI ZESPÓŁ SZKÓŁ NR 1 IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH WE WRONKACH 2019-12-05 20:24:43
77 MICHAŁ WIĘCEK I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MARII SKŁODOWSKIEJ-CURIE W OSTRZESZOWIE 2019-12-05 20:32:29
78 JULIA WELK ZESPÓŁ SZKÓŁ EKONOMICZNO-ODZIEŻOWYCH W GNIEŹNIE IM. STEFANA KARDYNAŁA WYSZYŃSKIEGO PRYMASA TYSIĄCLECIA 2019-12-05 20:36:09
79 MACIEJ TOMCZYK ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH I TECHNICZNYCH W KŁODAWIE 2019-12-05 20:47:14
80 JAKUB PIŁAT VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-05 20:56:19
81 MARTA PRZYSUSZYŃSKA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE ZESPOŁU SZKÓŁ ZAKONU PIJARÓW IM. ŚW. JÓZEFA KALASANCJUSZA W POZNANIU 2019-12-05 21:08:19
82 AGNIESZKA ŁUCJAN LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANKA Z CZARNKOWA W CZARNKOWIE 2019-12-05 21:09:15
83 PAULINA WCZESNA III LICEUM OSTRÓW WIELKOPOLSKI 2019-12-05 21:09:59
84 FILIP PÓŁTORACZYK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W LESZNIE Z ODDZIAŁAMI DWUJĘZYCZNYMI I MIĘDZYNARODOWYMI 2019-12-05 21:10:22
85 MARTYNA ZAKIERSKA III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-05 21:12:38
86 AGATA GŁUGIEWICZ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. STANISŁAWA WYSPIAŃSKIEGO W OBORNIKACH 2019-12-05 21:14:53
87 MICHAŁ CHABIERSKI III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-05 21:16:14
88 SYLWIA PAWELEC III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-05 21:17:05
89 BARBARA RATAJCZAK ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH IM. ZIEMI GOSTYŃSKIEJ W GOSTYNIU 2019-12-05 21:19:08
90 WIKTOR MAZUR IV LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM.KOMISJI EDUKACJI NARODOWEJ W POZNANIU 2019-12-05 21:22:33
91 KAROLINA MAĆKOWIAK I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KS. J. KOMPAŁŁY I W.LIPSKIEGO W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM 2019-12-05 21:23:10
92 ROBERT FLORCZAK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W LESZNIE 2019-12-05 21:25:14
93 NATALIA KRUPA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KS. JANA KOMPAŁŁY I WOJCIECHA LIPSKIEGO W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM 2019-12-05 21:26:01
94 KAMIL WITOŃ I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCZĄCE IM. M. SKŁODOWSKIEJ- CURIE W OSTRZESZOWIE 2019-12-05 21:31:25
95 KAMIL RATAJCZYK III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA 2019-12-05 21:34:24
96 JAKUB FLORKOWSKI 3 LO W POZNANIU IM. JANA KANTEGO 2019-12-05 21:41:55
97 MATEUSZ MIKOŁAJCZAK II LO IM. GEN ZAMOYSKIEJ I HELENY MODRZEJEWSKIEJ W POZNANIU 2019-12-05 21:46:56
98 KATARZYNA JANASZAK ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADPODSTAWOWYCH IM.DEZYDEREGO CHŁAPOWSKIEGO W WITKOWIE 2019-12-05 21:49:50
99 ALEKSANDRA STRZELECKA VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-05 21:51:57
100 TERESA FRANC I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MARII SKŁODOWSKIEJ-CURIE W OSTRZESZOWIE 2019-12-05 21:54:29
101 DARIA POSYPANKO II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W LESZNIE 2019-12-05 22:03:03
102 DOMINIK FAJFER I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. BOLESŁAWA CHROBREGO W GNIEŹNIE 2019-12-05 22:03:27
103 WERONIKA GLAZA VII LO IM. DĄBRÓWKI W POZNANIU 2019-12-05 22:06:50
104 DAWID BŁASZCZYK ZESPÓŁ SZKÓŁ TECHNICZNYCH DIECEZJI KALISKIEJ 2019-12-05 22:12:55
105 POLA WALCZYŃSKA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA ASNYKA W KALISZU 2019-12-05 22:13:50
106 OSKAR KILIAŃCZYK IIILO POZNAŃ 2019-12-05 22:15:50
107 PRZEMYSŁAW PRZYSTAWSKI ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH I TECHNICZNYCH W KŁODAWIE 2019-12-05 22:15:57
108 DAWID WRÓBEL LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JULIUSZA SŁOWACKIEGO W GRODZISKU WIELKOPOLSKIM 2019-12-05 22:20:03
109 KRZYSZTOF BRYSZAK TECHNIKUM KOMUNIKACJI 2019-12-05 22:21:23
110 ZOFIA KOTERAS I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W GNIEŹNIE 2019-12-05 22:25:39
111 MICHAŁ KAPTURZAK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GENERAŁOWEJ ZAMOYSKIEJ I HELENY MODRZEJEWSKIEJ W POZNANIU 2019-12-05 22:26:56
112 DARIUSZ RUBACH ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH W WOLSZTYNIE 2019-12-05 22:28:34
113 SZYMON KOZŁOWSKI ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH NR 1 W JAROCINIE 2019-12-05 22:31:44
114 DOROTA DOBERSCHUTZ I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. BOLESŁAWA CHROBREGO W GNIEŹNIE 2019-12-05 22:37:30
115 WIKTOR SKORUPKA II LO W LESZNIE 2019-12-05 22:54:06
116 ZUZANNA MIKZIŃSKA IX LICEUM IM. KAROLA LIBELTA POZNAŃ 2019-12-05 23:30:10
117 PIOTR KMIECIK 1 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W OSTROWIE 2019-12-05 23:30:41
118 NATALIA SIWEK 2 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W POZNANII 2019-12-05 23:34:49
119 MICHAŁ MAZUREK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GENERAŁOWEJ ZAMOYSKIEJ I HELENY MODRZEJEWSKIEJ W POZNANIU 2019-12-06 00:31:09
120 MARIA TOMALA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA Z ODDZIAŁAMI DWUJĘZYCZNYMI I MIĘDZYNARODOWYMI W LESZNIE 2019-12-06 00:54:17
121 JAKUB GRYNIA ZESPÓŁ SZKÓŁ ROLNICZYCH ŚRODA WLKP 2019-12-06 02:51:00
122 KAROLINA HOFFA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH W WĄGROWCU 2019-12-06 03:29:18
123 NIKOLA KOZŁOWSKA 1 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MARII SKŁODOWSKIEJ-CURIE 2019-12-06 07:36:26
124 RAFAŁ MALCEWICZ 38. DWUJĘZYCZNE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA NOWAKA JEZIORAŃSKIEGO W POZNANIU 2019-12-06 08:36:21
125 WOJCIECH WASIELEWSKI TECHNIKUM KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-06 09:30:22
126 ZUZANNA MUCHA LO IM. MARII SKŁODOWSKIEJ CURIE W OSTRZESZOWIE 2019-12-06 09:43:29
127 MICHAŁ MUSKAŁA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MARII SKŁODOWSKIEJ-CURIE W OSTRZESZOWIE 2019-12-06 09:54:44
128 ANNA BŁASZKIEWICZ IX LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KAROLA LIBELTA W POZNANIU 2019-12-06 11:21:52
129 MAGDALENA PŁUGOWSKA LLL LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-06 11:22:01
130 DOMINIKA STĘPNIAK LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MARSZAŁKA JÓZEFA PIŁSUDSKIEGO W SŁUPCY 2019-12-06 11:35:36
131 MICHAŁ GRZYWACZEWSKI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JULIUSZA SŁOWACKIEGO W GRODZISKU WIELKOPOLSKIM 2019-12-06 11:40:33
132 AGATA NOWAK LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANKA Z CZARNKOWA W CZARNKOWIE 2019-12-06 11:46:29
133 PAWEŁ PRZYBYŁEK ZESPÓŁ SZKÓŁ ŁĄCZNOŚCI IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA 2019-12-06 12:32:44
134 HANNA DOMARADZKA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. TADEUSZA KOŚCIUSZKI W KALISZU 2019-12-06 12:40:31
135 MARCIN PEREK 8 LO IM ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-06 12:41:42
136 ALEKSANDRA BAJEK LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH W TARNOWIE PODGÓRNYM 2019-12-06 12:59:03
137 AGATA KARCZYŃSKA ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH IM. ZIEMI GOSTYŃSKIEJ W GOSTYNIU 2019-12-06 13:11:24
138 WIKTORIA PLEWKA 3 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM.MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-06 13:48:43
139 ALICJA GARTNER LO OBORNIKI IM STANISLAWA WYSPIANSKIEGO W OBORNIKACH 2019-12-06 13:50:25
140 ALEKSANDRA WOJTKOWIAK LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM STANISŁAWA WYSPIAŃSKIEGO W OBORNIKACH 2019-12-06 13:51:12
141 ZUZANNA BARAN II LO W POZNANIU 2019-12-06 14:04:26
142 JAKUB KASZUBA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. STANISŁAWA WYSPIAŃSKIEGO W OBORNIKACH 2019-12-06 14:25:44
143 PIOTR NOWICKI ZESPÓŁ SZKÓŁ TECHNICZNYCH DIECEZJI KALISKIEJ 2019-12-06 14:35:22
144 MARTA GŁOWACKA ZESPÓŁ SZKÓŁ KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-06 15:02:51
145 DANIEL MICHALAK I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IMIENIA KAROLA MARCINKOWSKIEGO W POZNANIU 2019-12-06 15:05:17
146 ZOFIA STEPHAN II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W LESZNIE Z ODDZIAŁAMI DWUJĘZYCZNYMI I MIĘDZYNARODOWYMI 2019-12-06 15:28:33
147 PAULINA SKRZYPCZAK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA Z ODDZIAŁAMI DWUJĘZYCZNYMI I MATURĄ MIĘDZYNARODOWĄ 2019-12-06 15:28:45
148 ZUZANNA GLURA ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH IM. ZIEMI GOSTYŃSKIEJ W GOSTYNIU 2019-12-06 15:42:45
149 PIOTR WYSOCKI 8 LO W POZNANIU IM. ADAMA MICKIEWICZA 2019-12-06 15:43:53
150 JULIA BITTNER XVII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE 2019-12-06 15:47:01
151 BARTOSZ SYTEK I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ŚW BARBARY W CHODZIEŻY 2019-12-06 15:55:19
152 KRZYSZTOF PEISERT II LO IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W LESZNIE 2019-12-06 15:59:54