Matematyczny Kalendarz Adwentowy

Zadanie z dnia 2019-12-06

Na słupie zawieszono termometr o długości \(1\) metra, który zajmuje miejsce między trzecim a czwartym metrem tego słupa, licząc od gruntu. W jakiej odległości od słupa powinien stanąć człowiek, który ma oczy na poziomie \(1{,}70\) metra, aby widzieć ten termometr pod możliwie największym kątem? (Przez kąt widzenia rozumiemy tu kąt, którego wierzchołkiem jest źrenica patrzącego, a ramiona przechodzą przez końce termometru.)

Odpowiedź

Czas przesyłania rozwiązań do tego zadania już minął. Mimo to nie chcemy psuć Ci zabawy, dlatego ukrywamy prawidłową odpowiedź. Jeśli chcesz ją zobaczyć, najedź kursorem na poniższe pole.

1,729

Wyjaśnienie do odpowiedzi

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

Niech prosta \(\ell\) będzie poziomem oczu człowieka, odcinek \(BC\) − termometrem. Prosta \(BC\) przecina prostą \(\ell\) w punkcie \(A\) pod kątem prostym. Rozważmy okrąg \(\omega\), który przechodzi przez punkty \(B\) i \(C\) oraz jest styczny do prostej \(\ell\) w punkcie \(T\) (rysunek). Dla każdego punktu \(X\neq T\) na półprostej \(AT^\to\) zachodzi nierówność \(|\text{kąt} BXC| < |\text{kąt} BTC|\), ponieważ punkt \(X\) leży na zewnątrz okręgu \(\omega\). Zatem szukaną odległością jest \(|AT|\).

Na mocy twierdzenia o stycznej i cięciwie zachodzi równosć \(|\text{kąt} ATB|=|\text{kat} BCT|\). Stąd trójkąty prostokątne \(ATB\) i \(ACT\) są podobne (kkk). Zatem \[ \frac{|AT|}{|AB|}=\frac{|AC|}{|AT|}, \] więc \(|AT|=\sqrt{|AB|\cdot|AC|} = \sqrt{2{,}99} \approx 1{,}729\).

Rysunek komentujący rozwiązanie zadania

Ranking

Poniżej przedstawiamy ranking osób, które przesłały rozwiązanie tego zadania.

# Imię, nazwisko i szkoła Data przesłania odpowiedzi
1 MICHAŁ REDMER VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-06 18:11:02
2 AGNIESZKA ŻEBROWSKA ZESPÓŁ SZKÓŁ ZAKONU PIJARÓW IM. ŚW. JÓZEFA KALASANCJUSZA W POZNANIU 2019-12-06 18:12:49
3 MARIANNA GRYNIA XVI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Z ODDZIAŁAMI DWUJĘZYCZNYMI IM. CHARLES DE GAULLE'A W POZNANIU 2019-12-06 18:13:00
4 WIKTOR MAZUR IV LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM.KOMISJI EDUKACJI NARODOWEJ W POZNANIU 2019-12-06 18:15:27
5 PIOTR DUDZIAK VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-06 18:17:16
6 MATEUSZ DOKOWICZ 3LO POZNAŃ 2019-12-06 18:18:23
7 KAROL SUTERSKI IV LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W POZNANIU 2019-12-06 18:18:43
8 ŁUKASZ SOBCZAK III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM 2019-12-06 18:20:18
9 KRZYSZTOF BRYSZAK TECHNIKUM KOMUNIKACJI 2019-12-06 18:20:54
10 OSKAR KILIAŃCZYK IIILO POZNAŃ 2019-12-06 18:21:26
11 MATEUSZ JANCZAK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GENERAŁOWEJ ZAMOYSKIEJ I HELENY MODRZEJEWSKIEJ 2019-12-06 18:25:09
12 DAWID STACHOWIAK LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. STEFANA GARCZYŃSKIEGO W ZBĄSZYNIU 2019-12-06 18:25:25
13 PIOTR SZCZESZEK ZESPÓŁ SZKÓŁ KOMUNIKACJI IM H. CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-06 18:33:44
14 JĘDRZEJ KOLSKI TECHNIKUM KOMUNIKACJI 2019-12-06 18:33:52
15 KATARZYNA CHOJNIAK PUBLICZNE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE ZAKONU PIJARÓW IM. ŚW. JÓZEFA KALASANCJUSZA W POZNANIU 2019-12-06 18:39:30
16 JAKUB CZAJKOWSKI III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-06 18:48:27
17 HELENA MASŁOWSKA VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-06 18:48:28
18 NATAN WINCZEWSKI ZESPÓŁ SZKÓŁ KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-06 18:49:30
19 HUBERT PLEWA TECHNIKUM KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-06 18:49:45
20 JAKUB FLORKOWSKI 3 LO W POZNANIU IM. JANA KANTEGO 2019-12-06 19:04:11
21 JAKUB PIŁAT VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-06 19:12:39
22 LEONARD SZULC XI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W POZNANIU 2019-12-06 19:18:44
23 PAWEŁ PRZYBYŁEK ZESPÓŁ SZKÓŁ ŁĄCZNOŚCI IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA 2019-12-06 19:24:29
24 RADOSŁAW WINIECKI I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH W WĄGROWCU 2019-12-06 19:33:38
25 KLAUDIA TARABASZ VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-06 19:38:09
26 PAWEŁ ŁAZAR II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GENERAŁOWEJ ZAMOYSKIEJ I HELENY MODRZEJEWSKIEJ 2019-12-06 19:42:45
27 MARTA MIERZYŃSKA IX LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KAROLA LIBELTA W POZNANIU 2019-12-06 19:47:19
28 JAN NOWAKOWSKI VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-06 19:50:06
29 ALEKSANDRA STRZELECKA VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-06 19:53:21
30 PATRYCJA OBUCHOWSKA 9 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KAROLA LIBELTA W POZNANIU 2019-12-06 19:53:34
31 SZYMON KOZŁOWSKI ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH NR 1 W JAROCINIE 2019-12-06 20:04:56
32 MACIEJ NOWAKOWSKI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GEN. J. WYBICKIEGO W ŚREMIE 2019-12-06 20:08:53
33 MARIANNA BOCIANOWSKA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KAROLA MARCINKOWSKIEGO W POZNANIU 2019-12-06 20:11:52
34 ZOFIA GOŁASKA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE ŚW MARII MAGDALENY W POZNANIU 2019-12-06 20:17:09
35 ADAM ŚWIERZEWSKI LICUM NR.1 IM. JAROSŁAWA DĄBROWSKIEGO W RAWICZU 2019-12-06 20:28:04
36 KINGA WESOŁOWSKA DWUJĘZYCZNE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE NR 38 W POZNANIU IM. JANA NOWAKA JEZIORAŃSKIEGO 2019-12-06 20:28:21
37 WOJCIECH DWORCZYŃSKI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W ŚREMIE 2019-12-06 20:31:14
38 KAROL DWORCZYŃSKI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GEN. JÓZEFA WYBICKIEGO W ŚREMIE 2019-12-06 20:41:05
39 BARBARA PIELECHA XVII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE 2019-12-06 20:55:02
40 KRZYSZTOF ANTONIEWICZ ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADPODSTAWOWYCH IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH NR 1 W JAROCINIE 2019-12-06 21:01:02
41 MAREK WIĄCEK ZESPÓŁ SZKÓŁ PRZYRODNICZO-USŁUGOWYCH IM. STANISŁAWA MIKOŁAJCZYKA W GNIEŹNIE 2019-12-06 21:21:34
42 JOANNA ZUBIK TECHNIKUM KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-06 21:29:09
43 ANTONI RAJTAR VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-06 21:32:20
44 ŁUKASZ WALICKI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANKA Z CZARNKOWA W CZARNKOWIE 2019-12-06 21:45:51
45 DOROTA DOBERSCHUTZ I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. BOLESŁAWA CHROBREGO W GNIEŹNIE 2019-12-06 21:48:44
46 JULIA MINGE ZESPÓŁ SZKÓŁ NR 1 W NOWYM TOMYŚLU 2019-12-06 22:23:50
47 SZYMON SIEMIENIUK ZESPÓŁ SZKÓŁ KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-06 22:28:32
48 KRZYSZTOF SZMYT TECHNIKUM KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-06 22:36:31
49 PAWEŁ WOŹNIAK 3 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ŚW. JANA KANTEGO W POZNANIU 2019-12-06 22:48:47
50 MARCIN PEREK 8 LO IM ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-06 23:30:24
51 ADAM NOWACKI ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH I TECHNICZNYCH W KŁODAWIE 2019-12-07 01:32:05
52 PIOTR KMIECIK 1 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W OSTROWIE 2019-12-07 08:56:41
53 NATALIA KRUPA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KS. JANA KOMPAŁŁY I WOJCIECHA LIPSKIEGO W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM 2019-12-07 10:06:38
54 KAROLINA MAĆKOWIAK I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KS. J. KOMPAŁŁY I W.LIPSKIEGO W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM 2019-12-07 10:08:29
55 MAGDALENA MOLENDA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KS. J. KOMPAŁŁY I W. LIPSKIEGO 2019-12-07 10:46:45
56 JAN KOZŁOWSKI II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. DĄBRÓWKI W GNIEŹNIE 2019-12-07 11:34:45
57 MARTA SUFRYD I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KS. J. KOMPAŁŁY I W. LIPSKIEGO 2019-12-07 12:00:43
58 OLIWIA KUBIK I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KS. J. KOMPAŁŁY I W. LIPSKIEGO 2019-12-07 12:06:16
59 MAGDALENA PŁUGOWSKA LLL LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-07 13:18:22
60 DAWID TARABASZ ZESPÓŁ SZKÓŁ KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-07 13:18:38
61 SZYMON JĘDRZYCHOWSKI 2 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W LESZNIE 2019-12-07 13:35:14
62 JOANNA GOSIENIECKA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W LESZNIE 2019-12-07 13:37:58
63 URSZULA ZACHARZEWSKA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KAROLA MARCINKOWSKIEGOOWSKIEGO 2019-12-07 14:43:29
64 FILIP PÓŁTORACZYK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W LESZNIE Z ODDZIAŁAMI DWUJĘZYCZNYMI I MIĘDZYNARODOWYMI 2019-12-07 14:45:49
65 DAWID BŁASZCZYK ZESPÓŁ SZKÓŁ TECHNICZNYCH DIECEZJI KALISKIEJ 2019-12-07 15:07:02
66 POLA WALCZYŃSKA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA ASNYKA W KALISZU 2019-12-07 15:11:30
67 MICHAŁ KAPTURZAK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GENERAŁOWEJ ZAMOYSKIEJ I HELENY MODRZEJEWSKIEJ W POZNANIU 2019-12-07 15:23:38
68 NATALIA KUBIAK 9 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KAROLA LIBELTA W POZNANIU 2019-12-07 15:26:42
69 MICHAŁ CHABIERSKI III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-07 15:27:10
70 ZUZANNA BARAN II LO W POZNANIU 2019-12-07 15:38:52
71 ANTONI SOLARSKI VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-07 15:47:54