Matematyczny Kalendarz Adwentowy

Zadanie z dnia 2019-12-09

Środek ciężkości trójkąta równobocznego \(ABC\) jest punktem przecięcia się przekątnych kwadratu \(APQR\). Oblicz pole części wspólnej tych dwóch figur, jeśli bok kwadratu ma długość \(1\).

Odpowiedź

Czas przesyłania rozwiązań do tego zadania już minął. Mimo to nie chcemy psuć Ci zabawy, dlatego ukrywamy prawidłową odpowiedź. Jeśli chcesz ją zobaczyć, najedź kursorem na poniższe pole.

0,607

Wyjaśnienie do odpowiedzi

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

Niech \([\mathcal{F}]\) oznacza pole figury \(F\). Oznaczmy przecięcia się boków trójkąta z bokami kwadratu punktami kolejno \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) (rysunek). Niech \(S\) będzie wspólnym środkiem trójkąta i kwadratu. Szukane pole wynosi \[ P = [APQR] - [LMQ] - 2[APK], \] gdyż trójkąty \(APK\) i \(ARN\) są przystające (kbk), bo \(|AP|=|AR|=1\), \(|\text{kąta} PAK|=|\text{kąta} RAN|=15^\circ\), a kąty \(APK\) i \(ARN\) są proste. Mamy: \begin{align*} [APQR] & = 1^2 = 1,\\ [APK] & = \frac12\cdot1\cdot1\cdot\tan15^\circ = \frac12(2-\sqrt3),\\ [LMQ] & = \frac12\cdot12\cdot12=\frac18. \end{align*} Ostatnia równość wymaga uzasadnienia − w trójkącie środkowe dzielą się w proporcji \(2:1\), licząc od wierzchołka, zatem odcinek \(ML\) przecina odcinek \(SQ\) w połowie i pod kątem prostym. Z tego wynika, że \(|MQ|=|LQ|=\frac12\).

Podsumowując, \[ P = 1 - \frac18 - 2\cdot\frac12(2-\sqrt3) = \sqrt3-\frac98 \approx 0{,}607. \]

Rysunek komentujący rozwiązanie zadania

Ranking

Poniżej przedstawiamy ranking osób, które przesłały rozwiązanie tego zadania.

# Imię, nazwisko i szkoła Data przesłania odpowiedzi
1 AGNIESZKA ŻEBROWSKA ZESPÓŁ SZKÓŁ ZAKONU PIJARÓW IM. ŚW. JÓZEFA KALASANCJUSZA W POZNANIU 2019-12-09 18:10:39
2 MATEUSZ DOKOWICZ 3LO POZNAŃ 2019-12-09 18:12:36
3 OSKAR KILIAŃCZYK IIILO POZNAŃ 2019-12-09 18:13:02
4 MICHAŁ REDMER VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-09 18:15:08
5 NATALIA SIWEK 2 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W POZNANII 2019-12-09 18:18:14
6 JAKUB FLORKOWSKI 3 LO W POZNANIU IM. JANA KANTEGO 2019-12-09 18:19:13
7 ZOFIA GOŁASKA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE ŚW MARII MAGDALENY W POZNANIU 2019-12-09 18:24:25
8 MATEUSZ JANCZAK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GENERAŁOWEJ ZAMOYSKIEJ I HELENY MODRZEJEWSKIEJ 2019-12-09 18:24:42
9 FILIP PÓŁTORACZYK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W LESZNIE Z ODDZIAŁAMI DWUJĘZYCZNYMI I MIĘDZYNARODOWYMI 2019-12-09 18:25:34
10 DAWID STACHOWIAK LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. STEFANA GARCZYŃSKIEGO W ZBĄSZYNIU 2019-12-09 18:26:01
11 MARTA SUFRYD I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KS. J. KOMPAŁŁY I W. LIPSKIEGO 2019-12-09 18:26:16
12 MAGDALENA MOLENDA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KS. J. KOMPAŁŁY I W. LIPSKIEGO 2019-12-09 18:26:21
13 OLIWIA KUBIK I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KS. J. KOMPAŁŁY I W. LIPSKIEGO 2019-12-09 18:26:23
14 PIOTR KMIECIK 1 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W OSTROWIE 2019-12-09 18:26:24
15 NATALIA KRUPA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KS. JANA KOMPAŁŁY I WOJCIECHA LIPSKIEGO W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM 2019-12-09 18:26:37
16 KAROL SUTERSKI IV LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W POZNANIU 2019-12-09 18:27:29
17 WIKTOR MAZUR IV LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM.KOMISJI EDUKACJI NARODOWEJ W POZNANIU 2019-12-09 18:27:33
18 KAROLINA MAĆKOWIAK I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KS. J. KOMPAŁŁY I W.LIPSKIEGO W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM 2019-12-09 18:27:51
19 TYMON TOMCZAK 8 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-09 18:28:23
20 MAREK WIĄCEK ZESPÓŁ SZKÓŁ PRZYRODNICZO-USŁUGOWYCH IM. STANISŁAWA MIKOŁAJCZYKA W GNIEŹNIE 2019-12-09 18:30:40
21 KRZYSZTOF BRYSZAK TECHNIKUM KOMUNIKACJI 2019-12-09 18:31:15
22 WERONIKA JANOWICZ 1 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. BOLESŁAWA CHROBREGO W GNIEŹNIE 2019-12-09 18:31:18
23 BARTOSZ BUDKA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KAZIMIERZA WIELKIEGO W KOLE 2019-12-09 18:32:48
24 MARIANNA GRYNIA XVI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Z ODDZIAŁAMI DWUJĘZYCZNYMI IM. CHARLES DE GAULLE'A W POZNANIU 2019-12-09 18:34:31
25 HELENA MASŁOWSKA VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-09 18:35:39
26 JAKUB PIŁAT VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-09 18:40:14
27 SZYMON KOZŁOWSKI ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH NR 1 W JAROCINIE 2019-12-09 18:40:27
28 MATEUSZ MIKOŁAJCZAK II LO IM. GEN ZAMOYSKIEJ I HELENY MODRZEJEWSKIEJ W POZNANIU 2019-12-09 18:41:27
29 ŁUKASZ SOBCZAK III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM 2019-12-09 18:41:53
30 SZYMON JĘDRZYCHOWSKI 2 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W LESZNIE 2019-12-09 18:43:21
31 PIOTR DUDZIAK VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-09 18:44:28
32 PAULINA SKRZYPCZAK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA Z ODDZIAŁAMI DWUJĘZYCZNYMI I MATURĄ MIĘDZYNARODOWĄ 2019-12-09 18:47:14
33 MACIEJ NOWAKOWSKI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GEN. J. WYBICKIEGO W ŚREMIE 2019-12-09 18:47:15
34 WOJCIECH DWORCZYŃSKI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W ŚREMIE 2019-12-09 18:47:35
35 JAKUB CZAJKOWSKI III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-09 18:48:55
36 KAROL DWORCZYŃSKI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GEN. JÓZEFA WYBICKIEGO W ŚREMIE 2019-12-09 18:50:41
37 JĘDRZEJ KOLSKI TECHNIKUM KOMUNIKACJI 2019-12-09 18:50:52
38 WIKTOR SKORUPKA II LO W LESZNIE 2019-12-09 18:53:14
39 MACIEJ KARCZEWSKI I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W PLESZEWIE 2019-12-09 18:54:16
40 KACPER KOZERSKI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KAZIMIERZA WIELKIEGO W KOLE 2019-12-09 19:00:51
41 PIOTR KRZYSZOWSKI I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. STANISŁAW STASZICA W PLESZEWIE 2019-12-09 19:02:47
42 CEZARY SZWEDEK ZESPÓŁ SZKÓŁ IM. EMILII SCZANIECKIEJ W PNIEWACH 2019-12-09 19:06:12
43 MACIEJ KASZKOWIAK ZESPÓŁ SZKÓŁ NR 1 IM POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH WE WRONKACH 2019-12-09 19:09:05
44 BARBARA PIELECHA XVII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE 2019-12-09 19:14:37
45 STANISŁAW BEMBNISTA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. BOLESŁAWA CHROBREGO W GNIEŹNIE 2019-12-09 19:15:46
46 DOROTA DOBERSCHUTZ I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. BOLESŁAWA CHROBREGO W GNIEŹNIE 2019-12-09 19:17:16
47 KATARZYNA CHOJNIAK PUBLICZNE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE ZAKONU PIJARÓW IM. ŚW. JÓZEFA KALASANCJUSZA W POZNANIU 2019-12-09 19:20:33
48 RÓŻA ŁOPUSIEWICZ VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-09 19:21:03
49 JOANNA ZUBIK TECHNIKUM KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-09 19:31:22
50 WIKTORIA WOJTKOWIAK ZESPÓŁ SZKÓŁ KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-09 19:32:06
51 JAKUB GRYNIA ZESPÓŁ SZKÓŁ ROLNICZYCH ŚRODA WLKP 2019-12-09 19:33:55
52 KONRAD KACZMAREK ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH I TECHNICZNYCH W KŁODAWIE 2019-12-09 19:34:02
53 STEFAN OBARA ZESPÓŁ SZKÓŁ KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-09 19:34:46
54 HUBERT PLEWA TECHNIKUM KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-09 19:34:55
55 BŁAŻEJ JAROSZ I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MARII SKŁODOWSKIEJ-CURIE W OSTRZESZOWIE 2019-12-09 19:44:19
56 BARTŁOMIEJ PUCHAŁA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MARII SKŁODOWSKIEJ-CURIE W OSTRZESZOWIE 2019-12-09 19:44:24
57 KLAUDIA TARABASZ VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-09 19:56:28
58 DOMINIK FAJFER I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. BOLESŁAWA CHROBREGO W GNIEŹNIE 2019-12-09 20:03:32
59 MARTA PRZYSUSZYŃSKA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE ZESPOŁU SZKÓŁ ZAKONU PIJARÓW IM. ŚW. JÓZEFA KALASANCJUSZA W POZNANIU 2019-12-09 20:17:40
60 ADAM NOWACKI ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH I TECHNICZNYCH W KŁODAWIE 2019-12-09 20:28:29
61 DAWID TARABASZ ZESPÓŁ SZKÓŁ KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-09 20:28:49
62 ANNA STANISŁAWSKA ZESPÓŁ SZKÓŁ ZAWODOWYCH IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH W GOSTYNIU 2019-12-09 20:33:27
63 DAWID LIBERSKI III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM 2019-12-09 20:42:22
64 SANDRA RAZIK ZESPÓŁ SZKÓŁ NR 1 W NOWYM TOMYŚLU 2019-12-09 20:50:33
65 JAN KOZŁOWSKI II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. DĄBRÓWKI W GNIEŹNIE 2019-12-09 21:08:08
66 MATEUSZ SKORUPIŃSKI 3 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ŚW. JANA KANTEGO POZNAŃ 2019-12-09 21:10:22
67 ŁUKASZ WALICKI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANKA Z CZARNKOWA W CZARNKOWIE 2019-12-09 21:34:17
68 ANTONI SOLARSKI VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-09 22:11:37
69 ROKSANA KRYSZTOFIAK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. DĄBRÓWKI W GNIEŹNIE 2019-12-09 22:21:44
70 KRZYSZTOF ANTONIEWICZ ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADPODSTAWOWYCH IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH NR 1 W JAROCINIE 2019-12-09 22:27:48
71 MICHAŁ KAPTURZAK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GENERAŁOWEJ ZAMOYSKIEJ I HELENY MODRZEJEWSKIEJ W POZNANIU 2019-12-09 22:28:14
72 ROBERT FLORCZAK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W LESZNIE 2019-12-09 22:53:09
73 BARTOSZ NOWAK LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JULIUSZA SŁOWACKIEGO W GRODZISKU WIELKOPOLSKIM 2019-12-09 23:14:48
74 KRZYSZTOF SZMYT TECHNIKUM KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-09 23:40:53
75 URSZULA ZACHARZEWSKA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KAROLA MARCINKOWSKIEGOOWSKIEGO 2019-12-09 23:43:44
76 PAWEŁ PRZYBYŁEK ZESPÓŁ SZKÓŁ ŁĄCZNOŚCI IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA 2019-12-10 00:47:30
77 ALEKSANDRA STRZELECKA VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-10 07:11:41
78 ANTONI RAJTAR VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-10 08:48:43
79 HUBERT CIEŚLIŃSKI III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM 2019-12-10 08:49:58
80 RAFAŁ MALCEWICZ 38. DWUJĘZYCZNE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA NOWAKA JEZIORAŃSKIEGO W POZNANIU 2019-12-10 09:44:06
81 IGOR SZYMCZAK 38 DWUJĘZYCZNE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE 2019-12-10 09:44:36
82 PIOTR WYSOCKI 8 LO W POZNANIU IM. ADAMA MICKIEWICZA 2019-12-10 09:46:05
83 OLIWIER NECELMAN 38 LO W POZNANIU 2019-12-10 09:47:31
84 JULIA MINGE ZESPÓŁ SZKÓŁ NR 1 W NOWYM TOMYŚLU 2019-12-10 09:53:17
85 ADAM AUGUSTOWSKI ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH I TECHNICZNYCH W KŁODAWIE 2019-12-10 10:20:52
86 MICHAŁ GRZYWACZEWSKI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JULIUSZA SŁOWACKIEGO W GRODZISKU WIELKOPOLSKIM 2019-12-10 10:58:37
87 KACPER URBANIAK ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADPODSTAWOWYCH NR 1 W JAROCINIE 2019-12-10 11:26:50
88 JAN NOWAKOWSKI VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-10 11:36:06
89 NATALIA LANGNER ZESPÓŁ SZKÓŁ BUDOWNICTWA NR 1 W POZNANIU 2019-12-10 12:23:17
90 MICHAŁ MAZUREK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GENERAŁOWEJ ZAMOYSKIEJ I HELENY MODRZEJEWSKIEJ W POZNANIU 2019-12-10 14:02:40
91 MAGDALENA PŁUGOWSKA LLL LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W KALISZU 2019-12-10 14:13:27
92 DOMINIKA STĘPNIAK LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MARSZAŁKA JÓZEFA PIŁSUDSKIEGO W SŁUPCY 2019-12-10 14:22:29
93 WIKTOR SZAJERKA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W RAWICZU IM JAROSŁAWA DĄBROWSKIEGO 2019-12-10 14:37:34
94 KRZYSZTOF SKROBAŁA ZESPÓŁ SZKÓŁ KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-10 14:37:39
95 KINGA PAJEK III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM 2019-12-10 15:04:42
96 KAROLINA HOFFA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH W WĄGROWCU 2019-12-10 15:51:23
97 WOJCIECH GRABIAS LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE NR 2 IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W LESZNIE 2019-12-10 15:57:05