Matematyczny Kalendarz Adwentowy

Zadanie z dnia 2019-12-16

Promień świetlny podróżuje wewnątrz kwadratu o boku \(1\), odbijając się od jego boków zgodnie z prawem, według którego kąt odbicia jest równy kątowi padania. Wiadomo, że promień podróżuje po zamkniętej trasie, wzdłuż której odbija się od boków kwadratu \(30\) razy i nigdy nie trafia w wierzchołek. Jaka jest najmniejsza możliwa długość tej trasy?

Odpowiedź

Czas przesyłania rozwiązań do tego zadania już minął. Mimo to nie chcemy psuć Ci zabawy, dlatego ukrywamy prawidłową odpowiedź. Jeśli chcesz ją zobaczyć, najedź kursorem na poniższe pole.

21,260

Wyjaśnienie do odpowiedzi

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

Rozróżnijmy pionowe i poziome boki kwadratu. Promień odbijając się od poziomego boku, zachowuje poziomą składową swej szybkości, a pionowa zostaje zmieniona na przeciwną. Z tego wynika, że liczba odbić od poziomych ścian jest parzysta. Analogicznie dla ścian pionowych.

Zatem wzdłuż trasy promień odbije się \(2m\) razy od pionowych boków kwadratu i \(2n\) od poziomych, gdzie \(m\) i \(n\) są liczbami naturalnymi. Po wyprostowaniu (rysunek) trasa jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych \(2m\) i \(2n\), więc jej długość wynosi \(\sqrt{(2m)^2+(2n)^2}=2\sqrt{m^2+n^2}\). Przy stałej sumie (\(m+n=15\)) suma kwadratów jest najmniejsza, gdy składniki są możliwie równe, co tu ma miejsce dla \(m=7\) i \(n=8\) (lub na odwrót). Wówczas długość trasy wynosi \(2\sqrt{113}\approx21{,}260\). Jest ona osiągalna dla trasy widocznej na rysunku.

Rysunek komentujący rozwiązanie zadania

Optymalna, najkrótsza trasa przedstawiona jest na poniższym rysunku.

Rysunek komentujący rozwiązanie zadania

Ranking

Poniżej przedstawiamy ranking osób, które przesłały rozwiązanie tego zadania.

# Imię, nazwisko i szkoła Data przesłania odpowiedzi
1 IGNACY KUŹNIEWSKI II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GENERAŁOWEJ ZAMOYSKIEJ I HELENY MODRZEJEWSKIEJ W POZNANIU 2019-12-16 18:50:16
2 ZOFIA GOŁASKA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE ŚW MARII MAGDALENY W POZNANIU 2019-12-16 21:00:49
3 MICHAŁ REDMER VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-17 06:47:01
4 DOROTA DOBERSCHUTZ I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. BOLESŁAWA CHROBREGO W GNIEŹNIE 2019-12-17 08:58:38