Matematyczny Kalendarz Adwentowy

Zadanie z dnia 2019-12-19

Naczynie ma kształt graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego górną podstawą jest trójkąt \(ABC\). Krawędź boczna tego graniastosłupa jest trzykrotnie dłuższa od krawędzi podstawy. Naczynie jest napełnione wodą do połowy. Zaczynamy stopniowo je przechylać w taki sposób, by odcinek \(AB\) pozostał poziomy, a punkt \(C\) obniżał się. Wyznacz miarę kąta (w stopniach), pod którym krawędzie boczne tego naczynia będą nachylone do poziomu, gdy woda sięgnie do wierzchołka \(C\). Wynik zaokrąglij do najbliższej liczby naturalnej.

Odpowiedź

Czas przesyłania rozwiązań do tego zadania już minął. Mimo to nie chcemy psuć Ci zabawy, dlatego ukrywamy prawidłową odpowiedź. Jeśli chcesz ją zobaczyć, najedź kursorem na poniższe pole.

21,000

Wyjaśnienie do odpowiedzi

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

Niech \(a\) oznacza krawędź podstawy naczynia, a \(P\) - pole podstawy. Wodę w przechylonym naczyniu podzielimy za pomocą przekroju \(A'B'C'\) (rysunek) na dwie części. Pierwsza z nich jest ostrosłupem o wysokości \(b=|CC'|\), a druga graniastosłupem o wysokości \(3a-b\). Ponieważ naczynie jest napełnione wodą do połowy, zachodzi równość \[ \frac12\cdot P\cdot 3a = \frac13\cdot P\cdot b + P\cdot(3a-b), \] z której otrzymujemy \(b=\frac94a\).

Płaszczyzna \(A'B'C\) jest ustawiona poziomo. Niech \(M\) będzie środkiem odcinka \(A'B'\). Interesuje nas \(\varphi = |\text{kąt} C'CM|\) w trójkącie prostokątnym \(CC'M\). Mamy \[ \text{tg}\varphi = \frac{|MC'|}{|CC'|} = \frac{\frac12a\sqrt3}{\frac94a} = \frac29\sqrt3, \] więc \(\varphi \approx 21^\circ\).

Rysunek komentujący rozwiązanie zadania

Ranking

Poniżej przedstawiamy ranking osób, które przesłały rozwiązanie tego zadania.

# Imię, nazwisko i szkoła Data przesłania odpowiedzi
1 MICHAŁ REDMER VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-19 18:10:18
2 BARBARA PIELECHA XVII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE 2019-12-19 18:31:11
3 ANTONI RAJTAR VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-19 18:35:07
4 BARTOSZ KAŹMIERCZAK LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANKA Z CZARNKOWA W CZARNKOWIE 2019-12-19 18:43:14
5 ZOFIA GOŁASKA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE ŚW MARII MAGDALENY W POZNANIU 2019-12-19 18:43:59
6 ŁUKASZ WALICKI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANKA Z CZARNKOWA W CZARNKOWIE 2019-12-19 18:45:06
7 PATRYK DRÓZD LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W NOWYM TOMYŚLU 2019-12-19 18:47:21
8 WERONIKA JANOWICZ 1 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. BOLESŁAWA CHROBREGO W GNIEŹNIE 2019-12-19 19:00:02
9 ALEKSANDRA STRZELECKA VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-19 19:04:04
10 KRZYSZTOF BRYSZAK TECHNIKUM KOMUNIKACJI 2019-12-19 19:06:46
11 WIKTOR MAZUR IV LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM.KOMISJI EDUKACJI NARODOWEJ W POZNANIU 2019-12-19 19:09:41
12 KAROL SUTERSKI IV LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W POZNANIU 2019-12-19 19:10:50
13 MAREK WIĄCEK ZESPÓŁ SZKÓŁ PRZYRODNICZO-USŁUGOWYCH IM. STANISŁAWA MIKOŁAJCZYKA W GNIEŹNIE 2019-12-19 19:10:50
14 JAN KOZŁOWSKI II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. DĄBRÓWKI W GNIEŹNIE 2019-12-19 20:26:03
15 JAKUB PIŁAT VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-19 20:53:38
16 ROKSANA KRYSZTOFIAK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. DĄBRÓWKI W GNIEŹNIE 2019-12-19 21:17:06
17 ŁUKASZ SOBCZAK III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM 2019-12-19 21:17:34
18 MATEUSZ JANCZAK II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. GENERAŁOWEJ ZAMOYSKIEJ I HELENY MODRZEJEWSKIEJ 2019-12-19 21:28:25
19 HELENA MASŁOWSKA VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-19 22:44:29
20 NATAN WINCZEWSKI ZESPÓŁ SZKÓŁ KOMUNIKACJI IM. HIPOLITA CEGIELSKIEGO W POZNANIU 2019-12-19 22:58:24
21 KLAUDIA TARABASZ VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-19 23:08:58
22 STEFAN DRZEWIECKI XVI LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Z ODDZIAŁAMI DWUJĘZYCZNYMI IM. CHARLES DE GAULLE'A W POZNANIU 2019-12-19 23:31:37
23 RAFAŁ MALCEWICZ 38. DWUJĘZYCZNE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA NOWAKA JEZIORAŃSKIEGO W POZNANIU 2019-12-20 09:29:01
24 JAN NOWAKOWSKI VIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU 2019-12-20 13:56:25
25 URSZULA ZACHARZEWSKA I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. KAROLA MARCINKOWSKIEGOOWSKIEGO 2019-12-20 14:39:59